3.22.2006

Pieni tulos pariutumisesta, osa 3

Jälleen heikennetään olettamuksia. Kaavarykelmä kasvaa jo melkoisesti, joten en voi olla täysin varma, että kaikki meni oikein. Tarkistan tulokset, kun energiaa on enemmän.

Tällä kertaa ei oleteta, että kullakin henkilöllä on tietty universaali markkina-arvo, vaan että käsitykset markkina-arvoista ovat delta-tarkkoja (delta > 0 vakio) eli kaikilla x ja y pätee

px,y kuuluu väliin [px,x-delta sigma^2, px,x+delta sigma^2],

missä px,y on y:n arvio x:n markkina-arvosta ja siis px,x on henkilön x käsitys omasta markkina-arvostaan.

Oletetaan lisäksi, että henkilöiden joukko on T-tyytyvä eli x kelpuuttaa y:n parisuhdekumppanikseen, jos

py,x >= px,x - T sigma^2

Puuha lähtee jälleen liikkeelle siitä, että oletetaan miehen m ja naisen n olevan parisuhteessa.

Jätän kaavat tällä kertaa kirjoittamatta (tarkistusta niiden oikeellisuudesta ei ole vielä tehty). Kirjataan kuitenkin kiinnostava tulos, jonka mukaan miehen käsitys omasta markkina-arvostaa ja naisen käsitys omasta markkina-arvostaan ei voi näiden ehtojen vallitessa poiketa toisistaan kovin paljon. Pätee

| pm,m - pn,n | <= (3 delta + T) sigma^2

Tällöin järjestelmä on K-kvasistabiili, missä K > 2 T + 2 delta.

Tässä valossa olisi positiivista, jos ihmisillä ei olisi yhteiskunnallisella tasolla taipumusta tyytyä tasoaan huonompaan seuraan, eivätkä arviot henkilöiden markkina-arvoista olisi kovin pahasti pielessä. Tämä tukisi stabiileina pysyviä ihmissuhteita, jota ainakin juhlapuheiden perusteella tunnutaan arvostettavan, mene tiedä.

Pieni tulos pariutumisesta, osa 2

Edellisen tuloksen oletuksia voidaan välittömästi heikentää. Oletetaan jälleen, että kullakin henkilöllä x on universaalisti hyväksytty markkina-arvo px. Heikennetään edellisessä merkinnässä tehtyjä oletuksia tyytymisprosessin avulla.

Henkilöiden joukko on T-tyytyvä (T > 0 vakio), jos kaikki henkilöt x kelpuuttavat kumppanin x', jos

px' >= px - T sigma^2,

missä sigma^2 on henkilöiden markkina-arvojen varianssi.

Tällöin jos mies m ja nainen n ovat parisuhteessa, pätee

pm >= pn - T sigma^2

ja

pn >= pm - T sigma^2

eli | pm - pn | <= T sigma^2.

Tällöin järjestelmä on K-kvasistabiili, missä K > 2T. Tämä nähdään helposti, sillä esimerkiksi n on halukas vaihtamaan m:n ainoastaan partneriin, jonka markkina-arvo on suurempi tai yhtäsuuri kuin pm+K sigma^2. Kuitenkaan tällaisen markkina-arvon omaava mies m' ei enää ole kiinnostunut naisesta n, sillä m' haluaa naisen, jonka markkina-arvo on suurempi tai yhtäsuuri kuin pm'-T sigma^2. Siis jotta n olisi halukas vaihtamaan kumppaninsa m mieheen m' pitää olla voimassa

pm' >= pm + K sigma^2.

Toisaalta pätee

pm >= pn - T sigma^2.

Nämä epäyhtälöt ja vaatimuksen K > 2T yhdistämällä saadaan

pm' >= pn - T sigma^2 + K sigma^2 > pn + T sigma^2

eli

pn < pm' - T sigma^2

eli toisin sanoen miehen m' mielestä nainen n ei ole riittävän korkeatasoinen hänen parisuhdekumppanikseen.

Pieni tulos pariutumisesta

Unohdetaan hetkeksi kaikki aiemmin luodut mallit parisuhteista ja keskitytään seuraavaan yksinkertaistukseen. Henkilön x ominaisuudet voidaan kuvata kolmikolla (x, px, sx), missä px (reaaliluku) on henkilön x markkina-arvo (josta kaikki ihmiset ovat täsmälleen samaa mieltä) ja sx (reaaliluku) on arvo, jolla henkilö x arvostaa sinkkuelämäänsä. Hän ei siis suostu parisuhteeseen, jos tarjolla olevan kumppanin x' markkina-arvo px' ei ole vähintään sx. Lisäksi oletetaan, että jokainen vaatii vähintään oman tasoisensa kumppanin eli sx >= px kaikilla x.

Tällöin jos mies m ja nainen n ovat parisuhteessa, pätee

pm >= sn >= pn

ja

pn >= sm >= pm,

joten pn = pm. Jos markkina-arvojen varianssi sigma^2 on positiivinen, ovat kaikki mahdolliset pariutumiset K-kvasistabiileja millä tahansa positiivisella K. Ne eivät kuitenkaan välttämättä ole stabiileja, sillä klassisessa stabiiliuden määritelmässä henkilöt eivät näe mitään eroa pariutumiskumppaneissa, mikäli heidän markkina-arvonsa ovat samat.

3.21.2006

Tiedemies mikroteoriasta

Tiedemies kirjoitti jokin aika sitten joitakin merkintöjä MAT:n mikroteoriasta. Merkintä kommentteineen on mielestäni arvokas:


http://tiedemies.blogspot.com/2005/05/matn-mikroteorian-luonnos.html

Kvasistabiili pariutuminen

Pyrittäessä todistamaan jotain Hansenin mikroteoreettisen hypoteesin tyylistä tulosta, joudutaan välttämättä luopumaan pariutumisen stabiilisuuden vaatimuksesta, sillä se on vaatimuksena kohtuuttoman rajoittava, eikä mielestäni kuvaa todellisuutta tyydyttävällä tavalla. Vaatimusta on siis jollain tavoin heikennettevä, jotta mainitun mikroteoreettisen hypoteesin todistamisesta voidaan kohtuudella haaveilla.

Tulen tässä merkinnässä tekemään erään ehdotuksen uudeksi stabiiliuskäsitteeksi, mutta sitä ei vielä voida välttämättä pitää parhaana ja tehokkaimpana mahdollisena määritelmänä. Se on kuitenkin mielestäni askel oikeaan suuntaan, joten ajatus on valmiina esiteltäväksi.

Tarkastellaan tilannetta naisen n kannalta, joka on tällä hetkellä pariutunut miehen m kanssa. Klassisessa stabiiliuden määritelmässä nainen on valmis vaihtamaan kumppanikseen miehen m', jos PN(n,m')-PN(n,m) >= 0. Tämä ajatus on yleistettävissä.

Jätän myöhempien postausten varaan muuttujan sigma^2 määrittelyn. Toistaiseksi riittää tietää, että kyseessä on ei-negatiivinen luku, joka liittyy preferenssifunktioiden varianssiin. Määrittelen tämän tarkemmin myöhemmin.

Pariutumisen uusi luonnonlaki on, että nainen n on valmis vaihtamaan kumppaninsa m mieheen m', jos PN(n,m')-PN(n,m) >= Kn sigma^2, missä Kn on jokin ei-negatiivinen naisesta n riippuva vakio.

Systeemiä, jossa kaikilla naisilla n pätee Kn >= K ja kaikilla miehillä m pätee Km >= K jollakin vakiolla K, sanotaan K-kvasistabiiliksi, jos järjestelmässä ei ole yhtään henkilöä, joka on valmis vaihtamaan kumppaninsa tämän ehdon vallitessa.

Annan kuvaannollisen esimerkin pareista, jotka eivät ole stabiilisti pariutuneet, mutta ovat kuitenkin K-kvasistabiilisti pariutuneet jollakin positiivisella K.

Olkoon järjestelmässä parit (Reiska, Tiina) ja (Jorma, Kaisa). Oletetaan, että vakion sigma^2 arvo on positiivinen. Oletetaan, että Tiina antaa miehille seuraavat pisteet parisuhdekumppaneina:

Reiska 8
Jorma 8,5

Tällöin klassisen stabiiliuskäsitteen mukaan Tiinan ja Reiskan parisuhde on historiaa, mikäli Jorma sattuu pitämään Tiinasta enemmän kuin Kaisasta. Uusi käsite toimii realistisemmin, sillä eihän kukaan rationaalinen ihminen ole tutustumisen aikavaatimuksesta ja muista niin sanotuista transaktiokustannuksista johtuen valmis vaihtamaan kumppaniaan ihan kevyin perustein. Käsitteen on tarkoitus ilmentää sitä, että vain suurilla poikkeamilla mahdollisen kumppanin arvossa on merkitystä paria vaihdettaessa. Tässä esimerkissä Reiskan ja Jorman tasoero ei ole riittävä kohtuullisilla K:n arvoilla, jotta Tiina olisi parinsa valmis vaihtamaan.

Tiedostan täysin, että käsite ei ole vielä selkeästi muodostettu ja työtä tarvitaan vielä paljon. Otan kuitenkin mielelläni vastaan palautetta käsitteen parantamiseksi.

3.03.2006

Tärkeä linkki

Törmäsin hienoon tutkimukseen:

http://www.liv.ac.uk/evolpsyc/Markets_Proc_R_Soc.pdf

Pahoittelen päivitysten vähäisyyttä. Pyrin parantamaan jatkossa.